按理来说，三角形比四边形更加基础。但之所以先讲完四边形，再讲三角形，是因为三角形密铺基本上都能由四边形密铺演变而来。不相信？请听我慢慢道来。
1. 任意三角形的密铺
我们在第二期讲过，平行四边形朝两个方向平移可以密铺平面。将任意三角形旋转 180° 可以拼成一个平行四边形，因此任意三角形能密铺平面，如下图。
由于任意相邻两个三角形都是旋转 180° 的关系，因此基础三角形在变形时，需保证每条边都中心对称，这样其旋转 180° 之后才与自身重合。
密铺结果如下：
2. 等腰三角形
在任意三角形的密铺方式中，长边与长边重合，短边与短边重合，因此两个相邻三角形的公共边是同一条边。而等腰三角形有两条边等长，因此一条公共边可以在这个三角形中是 ab，在另一个三角形中却是 ac。
照此思路，
其中，每个三角形的两条边滑移反射，另一条边中心对称。
发现了吗，上图中两个等腰三角形组成的菱形，实际上是筝形密铺的变形特点——两组邻边滑移反射。
3. 等边三角形
连接正六边形的中心与 6 个顶点，可以将其分成 6 个等边三角形。另外，如果结合上一期中的旋转密铺方式，我们自然想到：或许可以先将等边三角形其绕一个顶点旋转 5 次 60°，形成一个正六边形，然后再密铺平面。
照此思路，便能得到下图中的密铺方式：
其中，每个三角形的两条边旋转 60° 相同，第三条边中心对称。你知道吗？埃舍尔的作品《对称水彩 94 条鱼》（1955）就是基于这种密铺方式的。
4. 等腰直角三角形
类似的，由于正方形可以由等腰直角三角形旋转拼成，因此存在下图的密铺方式：
其中，每个等腰直角三角形的两条边旋转 90° 相同，另一条边中心对称。
5. 120° 等腰三角形
同样地，等边三角形可以由含 120° 的等腰三角形旋转拼成，故存在下图的密铺方式：
其中，每个三角形的两条边旋转 120° 相同，另一条边中心对称。
在前几期文章中，我们介绍了 5 种基于三角形的密铺和 12 种基于四边形的密铺。在 alain nicolas 的 35 种密铺方式中，还有 5 种对称性很强的四边形密铺方式（即 1sa、2sa、2sb、3sa、4sa），笔者认为其属于这 12 种密铺方式的特殊情况，未将其单独列出。是否妥当，还请读者评判。
接下来我们将介绍基于六边形的密铺。之所以先跳过五边形，一方面是因为某些五边形密铺以六边形密铺为基础，同时也因为五边形密铺问题比六边形密铺问题更加复杂。
参考文献：
按理来说，三角形比四边形更加基础。但之所以先讲完四边形，再讲三角形，是因为三角形密铺基本上都能由四边形密铺演变而来。不相信？请听我慢慢道来。
1. 任意三角形的密铺
我们在第二期讲过，平行四边形朝两个方向平移可以密铺平面。将任意三角形旋转 180° 可以拼成一个平行四边形，因此任意三角形能密铺平面，如下图。
由于任意相邻两个三角形都是旋转 180° 的关系，因此基础三角形在变形时，需保证每条边都中心对称，这样其旋转 180° 之后才与自身重合。
密铺结果如下：
2. 等腰三角形
在任意三角形的密铺方式中，长边与长边重合，短边与短边重合，因此两个相邻三角形的公共边是同一条边。而等腰三角形有两条边等长，因此一条公共边可以在这个三角形中是 ab，在另一个三角形中却是 ac。
照此思路，
其中，每个三角形的两条边滑移反射，另一条边中心对称。
发现了吗，上图中两个等腰三角形组成的菱形，实际上是筝形密铺的变形特点——两组邻边滑移反射。
3. 等边三角形
连接正六边形的中心与 6 个顶点，可以将其分成 6 个等边三角形。另外，如果结合上一期中的旋转密铺方式，我们自然想到：或许可以先将等边三角形其绕一个顶点旋转 5 次 60°，形成一个正六边形，然后再密铺平面。
照此思路，便能得到下图中的密铺方式：
其中，每个三角形的两条边旋转 60° 相同，第三条边中心对称。你知道吗？埃舍尔的作品《对称水彩 94 条鱼》（1955）就是基于这种密铺方式的。
4. 等腰直角三角形
类似的，由于正方形可以由等腰直角三角形旋转拼成，因此存在下图的密铺方式：
其中，每个等腰直角三角形的两条边旋转 90° 相同，另一条边中心对称。
5. 120° 等腰三角形
同样地，等边三角形可以由含 120° 的等腰三角形旋转拼成，故存在下图的密铺方式：
其中，每个三角形的两条边旋转 120° 相同，另一条边中心对称。
在前几期文章中，我们介绍了 5 种基于三角形的密铺和 12 种基于四边形的密铺。在 alain nicolas 的 35 种密铺方式中，还有 5 种对称性很强的四边形密铺方式（即 1sa、2sa、2sb、3sa、4sa），笔者认为其属于这 12 种密铺方式的特殊情况，未将其单独列出。是否妥当，还请读者评判。
接下来我们将介绍基于六边形的密铺。之所以先跳过五边形，一方面是因为某些五边形密铺以六边形密铺为基础，同时也因为五边形密铺问题比六边形密铺问题更加复杂。
参考文献：
相关链接
镶嵌画中的数学01：前言
镶嵌画中的数学02：平行四边形的密铺
镶嵌画中的数学03：特殊四边形的密铺（一）
镶嵌画中的数学04：特殊四边形的密铺（二）
传播数学，普及大众
欢迎把我们推荐给你身边的朋友
